斐波那契数列的扩展应用及C++程序实现（探索者校刊）

2021届11班 高范铖旭  指导教师：付秀军

首先我们来看一组数列：

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377······

相信同学们一定对这组数列非常熟悉，这就是大名鼎鼎的斐波那契数列。斐波那契数列，又称黄金分割数列。在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用，为此，美国数学会从1963起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志，用于专门刊载这方面的研究成果。

现在，我们就来解决两道关于它的难题。

一、兔子繁殖问题

若每只兔子从出生的第三个月开始，每个月都可生出1对兔子，且兔子不会死亡。若现有新生的兔子1只，求第10个月时有多少只兔子？

解：若我们将有生育能力的兔子定义为成兔，暂未有生育能力的兔子定义为幼兔，我们可以通过一张表来发现规律。

我们可以从中发现，兔子的总数正好构成一个斐波那契数列，所以第十月一共有55只兔子。那么到了第n个月共有多少只兔子呢？

解：根据我们所发现的规律，发现从第三个月开始，每个月的兔子总数都等于前两个月的兔子总数之和，将它用数学语言表示出来即是：

变式：若每只兔子从出生的第三个月开始，每个月都可生出4只兔子，且兔子只能存活4个月。若现有新生的兔子1只，求第n个月时有多少只兔子？

用数学语言将其表示为：

二、上楼梯问题

若有10阶楼梯，一次可以跨1阶或2阶楼梯，那么一共有多少种走法？

解：这里我们运用一下逆向思维，也就是倒着来看这个问题，要走到第10阶，那么我们必须要先走到第9阶或者第8阶，就有了2种方法，即从第9阶跨一阶或从第8阶跨2阶，那方法总数就是到第8阶和到第9阶的方法之和。

变式1：若有n阶楼梯，一次可以跨1阶或2阶楼梯，那么一共有多少种走法？

解：这已经是一个斐波那契数列，再根据之前所做的分析，可以将其一般公式给写出来，即：

变式2：若有n阶楼梯，一次可以跨1阶或2阶或3阶楼梯，那么一共有多少种走法？

解：与之前一样，还是先进行逆推分析。要想到第n阶，则必须先走到第n-1或n-2或n-3阶楼梯，所以到第n阶楼梯的方法总数就等于到第n-1阶与到n-2阶与到n-3阶楼梯的方法之和，用数学语言将其表示出来即是：

这一类问题用C++程序实现比较方便。

问题描述：如果一开始给你b只幼兔，兔子p（p≥2）个月时可生育幼兔，每只可生育d只幼兔，以后的每个月都如此，兔子活到第q(q＞p)个月将死亡。问：第n个月时一共有多少只兔子呢？

#include<stdio.h>

#include<stdlib.h>

int main()

{   long long int p,q,n,d,b;

    int i;

    printf("请输入每月生育兔子个数：d\n");  scanf("%lld",&d);

    printf("请输入开始共多少只兔子：b\n");  scanf("%lld",&b);

    printf("请输入可生育月数：p\n");  scanf("%lld",&p);

    printf("请输入死亡月数：q\n");  scanf("%lld",&q);

    printf("请输入求解月数：n\n");  scanf("%lld",&n);

    long long int a[n+q];

    if(n>0&&n<p)

    {for(i=1;i<=n;i++)   a[i]=b;}

    if(n>=p&&n<q)

    {

        for(i=1;i<p;i++)  a[i]=b;

        for(i=p;i<q;i++)  a[i]=a[i-1]+d*a[i-p+1];      

    }

    if(n>=q)

    {

        for(i=1;i<p;i++)  a[i]=b;

        for(i=p;i<q;i++)  a[i]=a[i-1]+d*a[i-p+1];

        for(i=q;i<=n;i++) a[i]=a[i-1]+d*a[i-p+1]-a[i-q+1];     

    }

    printf("共有兔子%lld只",a[n]);

return 0;  

}