弧形滑梯与最速降线

[日期:2018-09-20] 作者:数学组 次浏览 [字体: ]

现在,如果有两条滑梯摆在你面前,一条是斜线,另一条是弧线。并且高度都是相同的。让你从中选择一条,使你从这条滑梯滑到地面时间比从另一条滑梯滑到地面的时间要短一些,你会选择哪一条呢?

也许你会选择那条斜线,认为那条斜线段的路程会短一些。但是,事实告诉我们,这样的分析是错误的。因为所花的时间,不但与路程的长短有关,而且还与滑行速度有关。沿着斜线下滑,固然路程会短一些,然而,运动速度是从0开始,缓慢而均匀地增大。沿弧线下滑开始滑行的是一段陡坡,速度迅速增大,使其滑行速度比前者快,即使路程更长一些,哪一条所花时间更短一些却很难判断了。如果弧线滑梯所花时间更短,那么改变弧形形状,是否还有更省时间的呢?哪一种弧线滑梯又是最省时间的呢?这个问题就是数学中的最速降线问题。

最速降线问题用科学语表述就是:确定在重力场中两个定点间运动的动点最快下降的曲线,这条曲线原来是一条适当的摆线的一段弧!

寻找“最速降线”的问题,最初是由瑞士数学家约翰·贝努利提出。当时欧洲数学界正盛行一种挑战的风气,约翰·贝努利就以此问题向全欧洲数学家挑战。这个问题经过约翰·贝努利、牛顿、莱布尼兹、雅各·贝努力等人的努力,得到了解决。发现:沿着适当的倒放摆线弧下滑,比任何曲线都快。这一问题的解决,为一门数学新分支――变分法的诞生奠定了基础。